1.10.Множества в математике
 

С термином множество в математике и в языках программирования, при манипулировании со структурами данных связывается разный смысл.

В математике множество это любая совокупность объектов, выбранная из универсального множества. Универсальным при этом считается множество, содержащее сразу все рассматриваемые элементы. Элементами множества в математике могут быть данные различных типов, число элементов не ограничено, одинаковых элементов нет.

Множество определяется как A = {a₁,а₂,… а_n}, а_i – элементы множества. Если х элемент множества А, то записывают х∈А. Возможно другое определение множества: А={х| х – день недели}. Если А подмножество В, то пишут А ∊ В, пустое множество обозначают А = Ø или А={}.

Пусть А и В некоторые множества элементов из некоторого класса объектов U, тогда определены следующие операции.
I. Дополнение — унарная операция
A'= { х| х∈А } содержит все те элементы U, которые не являются элементами множества А.
2. Объединение множеств А и В
АÙВ={ х| х∈А или х∈В} содержит все элементы U, каждый из которых является либо элементом множества А, либо элементо м множества В, либо одновременно элементом множества А и элементом множества В.
3. Пересечение множеств А и В
А∩В={ х| х∈А и х∈В} содержит все элементы U, каждый из которых является одновременно элементом множества А и элементом множества В.
4. Вычитание множеств А и В
А-В={ х| х∈А, но х∉В} содержит все все те элементы U, каждый из которых является элементом множества А, но не является элементом множества В.
5. Произведение множест А и В называется такое множество, каждый элемент которого представляет собой совокупность двух объектов (пару), при этом один из объектов пары является элементом из А, а второй – элементом из В:
АхВ={ (а,в)| а∈А, но b∈В}. Любое подмножество множества АхВ есть отношение R, при этом множество А называется областью определения, а множество В – областью значений. Отношение R часто имеет смысл =, >, <, и т.д..
6. Функция (отношение, преобразование) f: A∩B или f: A→B есть множество пар элементов (а,в), таких, что а∈А, b∈В и b=f(a).